a: Sửa đề: A(-4;5); B(-1;1); C(6;-1)
Tọa độ trung điểm M của BC là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+6}{2}=\dfrac{5}{2}\\y=\dfrac{1-1}{2}=0\end{matrix}\right.\)
Vậy: A(-4;5); M(2,5;0)
\(\overrightarrow{AM}=\left(6,5;-5\right)=\left(13;-10\right)\)
=>VTPT là (10;13)
Phương trình đường trung tuyến AM là:
10(x+4)+13(y-5)=0
=>10x+40+13y-65=0
=>10x+13y-25=0
Tọa độ trung điểm N của AC là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-4+6}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\y=\dfrac{5-1}{2}=2\end{matrix}\right.\)
Vậy: B(-1;1); N(1;2)
\(\overrightarrow{BN}=\left(2;1\right)\)
=>VTPT là (-1;2)
Phương trình BN là:
-1(x-1)+2(y-2)=0
=>-x+1+2y-4=0
=>-x+2y-3=0
Tọa độ trọng tâm G của ΔABC là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-4+\left(-1\right)+6}{3}=\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{5+1+\left(-1\right)}{3}=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
b: \(\overrightarrow{AM}=\left(13;-10\right);\overrightarrow{BN}=\left(2;1\right)\)
\(cos\widehat{AM;BN}=\left|cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)\right|=\dfrac{13\cdot2+\left(-10\right)\cdot1}{\sqrt{13^2+100}\cdot\sqrt{2^2+1^2}}\)
\(=\dfrac{26-10}{\sqrt{269}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{16}{\sqrt{1345}}\)
=>\(\widehat{AM;BN}\simeq64^08'\)
c: \(\overrightarrow{BC}=\left(7;-2\right)\)
Gọi (d): ax+by+c=0 là đường trung trực của BC
=>(d) vuông góc với BC và (d) đi qua M(2,5;0)
(d) vuông góc với BC nên (d) nhận vecto BC=(7;-2) làm vecto pháp tuyến
Phương trình (d) là:
7(x-2,5)+(-2)(y-0)=0
=>7x-17,5-2y=0
Tọa độ trung điểm I của AB là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-4+\left(-1\right)}{2}=-\dfrac{5}{2}=-2,5\\y=\dfrac{5+1}{2}=\dfrac{6}{2}=3\end{matrix}\right.\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(3;-4\right)\)
Gọi (d1): ax+by+c=0 là đường trung trực của AB
=>(d1) vuông góc với AB và (d1) đi qua I(-2,5;3)
(d1) vuông góc AB nhận (d1) nhận vecto AB=(3;-4) làm vecto pháp tuyến
Phương trình (d1) là:
3(x+2,5)+(-4)(y-3)=0
=>3x+7,5-4y+12=0
=>3x-4y+19,5=0
Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp là:
\(\left\{{}\begin{matrix}3x-4y+19,5=0\\7x-2y-17,5=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x-4y=-19,5\\14x-4y=35\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-11x=-54,5\\7x-2y=17,5\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{109}{22}\\2y=7x-17,5=\dfrac{189}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{109}{22}\\y=\dfrac{189}{22}\end{matrix}\right.\)