Bài 6: (2,5 điểm) Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). Đoạn AC cắt đường tròn (O) tại điểm D (khác C). a) Chứng minh tam giác BDC vuông và . AC = A * B ^ 2 = A * O ^ 2 - R ^ 2 b) Qua B kẻ đường thẳng d vuông góc với AO tại H. Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại E (khác B). Gọi F là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh tứ giác CEHF là hình chữ nhật và AE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) c) Tia CH cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh HA .HO=HG.HC. Suy ra góc GAB bằng góc EAD
a:
Sửa đề: \(AD\cdot AC=AB^2=AO^2-R^2\)
Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
=>BD\(\perp\)DC tại D
=>BD\(\perp\)CA tại D
Xét ΔBCA vuông tại B có BD là đường cao
nên \(AD\cdot AC=AB^2\left(1\right)\)
Xét ΔOBA vuông tại B có \(OB^2+BA^2=OA^2\)
=>\(BA^2+R^2=OA^2\)
=>\(BA^2=OA^2-R^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AC=AB^2=OA^2-R^2\)
b: ΔOBE cân tại O
mà OH là đường cao
nên H là trung điểm của BE
Xét ΔBCE có
O,H lần lượt là trung điểm của BC,BE
=>OH là đường trung bình của ΔBCE
=>OH//CE và OH=1/2CE
OH//CE
F\(\in\)OH
Do đó: HF//CE
\(OH=\dfrac{1}{2}CE\)
\(OH=\dfrac{1}{2}FH\)
Do đó: CE=FH
Xét tứ giác CEHF có
CE//HF
CE=HF
Do đó: CEHF là hình bình hành
Hình bình hành CEHF có \(\widehat{FHE}=90^0\)
nên CEHF là hình chữ nhật
ΔOBE cân tại O
mà OH là đường cao
nên OH là phân giác của góc BOE
Xét ΔOBA và ΔOEA có
OB=OE
\(\widehat{BOA}=\widehat{EOA}\)
OA chung
Do đó: ΔOBA=ΔOEA
=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OEA}=90^0\)
=>AE là tiếp tuyến của (O)
c: Xét (O) có
ΔBGC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBGC vuông tại G
=>GB\(\perp\)GC tại G
Xét ΔHEC vuông tại E và ΔHGB vuông tại G có
\(\widehat{EHC}=\widehat{GHB}\)
Do đó: ΔHEC đồng dạng với ΔHGB
=>\(\dfrac{HE}{HG}=\dfrac{HC}{HB}\)
=>\(HE\cdot HB=HG\cdot HC\)
=>\(HG\cdot HC=HB^2\left(3\right)\)
Xét ΔBOA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(HO\cdot HA=HB^2\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(HG\cdot HC=HO\cdot HA\)