Bài 2:
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax, By nằm cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Tiếp tuyến tại I với nửa đường tròn (O)
(I khác A, B) cắt Ax, By lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp và AM + BN = MN
b) Chứng minh góc MON = 900 và AM. BN = R2.
c) Gọi H là giao điểm của AN và BM, tia IH cắt AB tại K. Chứng minh H là trung điểm của IK
d) Cho AB = 5cm, diện tích tứ giác ABNM là 20cm2. Tính diện tích của tam giác AIB.
a: Xét tứ giác AMIO có
\(\widehat{MAO}+\widehat{MIO}=180^0\)
Do đó; AMIO là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
MI là tiếp tuyến
MA là tiếp tuyến
Do đó: MI=MA và OM là tia phân giác của góc IOA(1)
Xét (O) có
NI là tiếp tuyến
NB là tiếp tuyến
Do đó: NI=NB và ON là tia phân giác của góc IOB(2)
Ta có: MI+NI=MN
nên MN=MA+NB
b: Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MON}=\widehat{MOI}+\widehat{NOI}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{IOA}+\widehat{IOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)
Xét ΔMON vuông tại O có OI là đường cao
nên \(IM\cdot IN=OI^2\)
hay \(AM\cdot BN=R^2\)