Do tam giác PQR đều \(\Rightarrow PH\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến
\(\Rightarrow H\) là trung điểm QR
\(\Rightarrow QH=\dfrac{1}{2}QR=\dfrac{1}{2}PQ\) (do tam giác PQR đều)
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông PQH:
\(PH^2+QH^2=PQ^2\)
\(\Leftrightarrow PH^2+\left(\dfrac{1}{2}PQ\right)^2=PQ^2\)
\(\Leftrightarrow PH^2+\dfrac{1}{4}PQ^2=PQ^2\)
\(\Leftrightarrow PH^2=\dfrac{3}{4}PQ^2\)
\(\Leftrightarrow PQ^2=\dfrac{4}{3}PH^2\)
\(\Rightarrow PQ=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.PH\)
a.
Khi \(PH=3\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow PR=QR=PQ=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.3=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)
\(S_{\Delta PQR}=\dfrac{1}{2}PH.QR=\dfrac{1}{2}.3.2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)
b.
Khi \(PH=\sqrt{3}\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow PR=QR=PQ=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=2\left(cm\right)\)
\(S_{\Delta PQR}=\dfrac{1}{2}PH.QR=\dfrac{1}{2}.\sqrt{3}.2=\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)