Question

A=\(\dfrac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}\)

C/m A<\(\dfrac{1}{4}\) biết tử có 2010 dấu căn mẫu có 2009

Answer 1

\(A=\dfrac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}\)

\(=\dfrac{3-\sqrt{3+x}}{6-x}\) \(\left(x=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}\text{ với 2009 dấu căn}\right)\)

\(=\dfrac{6-x}{\left(6-x\right)\left(3+\sqrt{3+x}\right)}=\dfrac{1}{3+\sqrt{3+x}}\)

Ta cần chứng minh \(\dfrac{1}{3+\sqrt{3+x}}< \dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3+x}>1\)

\(\Leftrightarrow x>-2\) đúng

\(\Rightarrowđpcm\)