Question

a,b,c>0 , a+b+c=4

tim GTNN cua P=\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

Answer 1

@Nguyễn Việt Lâm

Answer 2

@Lê Thị Thục Hiền

Answer 3

Làm được ở TH a,b,c > hoặc = 0 thôi nha ( nếu a,b,c>0 thì mình chỉ biết tìm maxP thôi)

Đặt \(\sqrt{a+b}=x\), \(\sqrt{b+c}=y\),\(\sqrt{c+a}=z\) (x,y,z \(\ge0\))

=> \(0\le x,y,z\le2\)

Có \(x^2+y^2+z^2=2\left(a+b+c\right)=2.4=8\)

Có \(2-x\ge0\) => \(x\left(2-x\right)\ge0\) <=> \(2x-x^2\ge0\) <=> \(2x\ge x^2\)

Cm tương tự cũng có: \(2y\ge y^2\) , \(2z\ge z^2\)

=>\(2x+2y+2z\ge x^2+y^2+z^2=8\)

<=> \(x+y+z\ge4\)

<=> \(P=x+y+z\ge4\)

Dấu "=" xảy ra <=>\(\left(x,y,z\right)\in\left(2,2,0\right),\left(2,0,2\right),\left(0,2,2\right)\)

=> \(\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(0,4,0\right),\left(4,0,0\right),\left(0,0,4\right)\right\}\)

Answer 4

Em có cách này mặc dù ko chắc nhưng vẫn thích làm:D

Sửa đề là a,b,c >=0.

Ta có: \(P=\sqrt{2\left(a+b+c\right)+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}}\)

\(\ge\sqrt{8+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+a+b+c\right)}\)

\(=\sqrt{16+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}\ge\sqrt{16}=4\)

Đẳng thức xảy ra khi có 2 số bằng 0, số còn lại bằng 4.