Câu hỏi của Lizy

Question

`a,b,c` là các số nguyên thỏa mãn `a+b+2024c=c^3`. Chứng tỏ `a^3 +b^3 +c^3 \vdots 6`.

Phan Lê Quốc Hoàng · Accepted Answer

Giải thích các bước giải: a+b+2024c=c3 ⇔a+b+c=c3−2023c ⇔a+b+c=c(c2−2023) VP =c(c2−2023) =c(c2−1−2022) =c[(c−1)(c+1)−2022] Vì (c−1)c(c+1) là 3 số nguyên liên tiếp ⇒(c−1)c(c+1)⋮2⋮3 Mà 2022c⋮2⋮3⇒(c−1)c(c+1)⋮2⋮3 ⇒a+b+c⋮2⋮3(1) Xét hiệu a3+b3+c3−a−b−c =a(a2−1)+b(b2−1)+c(c2−1) =(a−1)a(a+1)+(b−1)b(b+1)+(c−1)c(c+1) Vì (a−1,a,a+1);(b−1,b,b+1);(c−1,c,c+1) là các nhóm 3 số nguyên liên tiếp  ⇒(a−1)a(a+1)+(b−1)b(b+1)+(c−1)c(c+1)⋮2⋮3 ⇒a3+b3+c3−a−b−c⋮2⋮3(2) Từ (1) và (2)⇒a3+b3+c3⋮2⋮3 Mà ƯCLN(2,3) = 1 ⇒a3+b3+c3⋮6Câu trả lời: Giải thích các bước giải: a+b+2024c=c3 ⇔a+b+c=c3−2023c ⇔a+b+c=c(c2−2023) VP =c(c2−2023) =c(c2−1−2022) =c[(c−1)(c+1)−2022] Vì (c−1)c(c+1) là 3 số nguyên liên tiếp ⇒(c−1)c(c+1)⋮2⋮3 Mà 2022c⋮2⋮3⇒(c−1)c(c+1)⋮2⋮3 ⇒a+b+c⋮2⋮3(1) Xét hiệu a3+b3+c3−a−b−c =a(a2−1)+b(b2−1)+c(c2−1) =(a−1)a(a+1)+(b−1)b(b+1)+(c−1)c(c+1) Vì (a−1,a,a+1);(b−1,b,b+1);(c−1,c,c+1) là các nhóm 3 số nguyên liên tiếp  ⇒(a−1)a(a+1)+(b−1)b(b+1)+(c−1)c(c+1)⋮2⋮3 ⇒a3+b3+c3−a−b−c⋮2⋮3(2) Từ (1) và (2)⇒a3+b3+c3⋮2⋮3 Mà ƯCLN(2,3) = 1 ⇒a3+b3+c3⋮6

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)