\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+a^2-4ad+4d^2+a^2-4ae+4e^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(b=c=d=e=\frac{a}{2}\)
CHo a b c d là các số thực . Chứng minh các bất đẳng thức :
a, \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
b, \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
c, \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2^{ }}\right)^3\) với a,b >0
d, \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
e, \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\) với ab>0
f, \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\) với a,b \(\ne\) 0
Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
1.
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\)+ \(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}\)+ \(\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\) ≥ 1
2.
\(\dfrac{a}{b+2c+3d}\)+\(\dfrac{b}{c+2d+3a}\)+\(\dfrac{c}{d+2a+3b}\)+ \(\dfrac{d}{a+2b+3c}\) ≥ \(\dfrac{2}{3}\)
3.
\(\dfrac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\) + \(\dfrac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\) + \(\dfrac{c^4}{\left(c+d\right)\left(c^2+d^2\right)}\) + \(\dfrac{d^4}{\left(d+a\right)\left(d^2+a^2\right)}\) ≥ \(\dfrac{a+b+c+d}{4}\)
Bất đẳng thức BuNyaKovSky ( BCS )
Áp BĐT Cô-si
1. Cho a,b,c \(\ge\) 0. Chứng minh các BĐT sau
a. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
b. \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
c. \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{c}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\)
d. \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
cho a,b,c,d,e dương CMR \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+e}+\dfrac{d}{e+a}+\dfrac{e}{a+b}\ge\dfrac{5}{2}\)
CHo a b c d là các số thực . CHứng minh các bất đẳng thức sau :
a, NẾu \(\frac{a}{b}\) <1 thì \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\)
b, \(\frac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\)
c, \(a^4+b^4+c^2+1\ge2a\left(a^2b-a+c+1\right)\)
d, a + b + c \(\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}\sqrt{ca}\) với a, b, c\(\ge0\)
e, \(a^3+b^3\ge a^2b+b^2a=ab\left(a+b\right)\)
Giúp em với ạ ! ^_^
C/m các BĐT sau :
\(1.a^3-3a+4\ge b^3-3b
\)
\(2,\frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}\ge\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\) với a, b, c, d>0
\(3,a^3+b^3\ge\frac{1}{4};a+b\ge1\)
4, \(a^3+b^3\le a^4+b^4;a+b\ge2\)
5, \(\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\left(a^5+b^5\right)\le4\left(a^9+b^9\right);a,b\ge0\)
6, \(\frac{c+a}{\sqrt{a^2+c^2}}\ge\frac{c+b}{\sqrt{c^2+b^2}};a>b>0,c>\sqrt{ab}\)
Các bn làm đc bài nào thì giúp mk với, cảm ơn ạ !
chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2b+\(\frac{1}{b}\ge2a,\left(\forall a,b>0\right)\)
b) (a+b)(ab+1)≥4ab,(∀a,b>0)
c) (a+b)(a+2)(b+2)≥16ab, (∀a,b>0)
d) (1+\(\frac{a}{b}\))\(\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge8,\left(\forall a.b,c>0\right)\)
cho a,b,c là số thực dương. Cmr:
1.\(\dfrac{a}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca}\)
2.\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\dfrac{9}{4}\)
bài 1: chứng minh các BĐT sau:
a) \(a^2b+\frac{1}{b}\ge2a,\left(\forall a,b>0\right)\)
b) (a+b)(ab+1)≥4ab,(∀a,b>0)
c) (a+b)(a+2)(b+2)≥16ab,(∀a,b>0)
d) \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge8,\left(\forall a,b,c>0\right)\)
bài 2: cho phương trình tham số của đường thẳng (d):\(\left\{{}\begin{matrix}x=5+t\\y=-9-2t\end{matrix}\right.\).Viết phương trình tổng quát của (d):
bài 3: cho đường thẳng Δ có phương trình tổng quát x-y+2=0. Viết phương trình tham số của Δ