a/ ĐKXĐ: \(x\ge1\)
\(\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}-\sqrt{x-1}=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}-\sqrt{x-1}=1\)
\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}-1\right|-\sqrt{x-1}=1\)
- Với \(x\ge2\Rightarrow\sqrt{x-1}-1\ge0\)
Pt tương đương:
\(\sqrt{x-1}-1-\sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow-1=1\left(vn\right)\)
- Với \(1\le x\le2\)
\(\Rightarrow1-\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=0\Leftrightarrow x=1\)
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\)
b/ ĐKXĐ: \(x\ge\frac{1}{2}\)
\(\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}+\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}+1}+\sqrt{2x-1-2\sqrt{2x-1}+1}=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}-1\right)^2}=2\)
\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{2x-1}+1\right|+\left|1-\sqrt{2x-1}\right|=2\)
Ta có:
\(\left|\sqrt{2x+1}+1\right|+\left|1-\sqrt{2x-1}\right|\ge\left|\sqrt{2x+1}+1+1-\sqrt{2x-1}\right|=2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left(\sqrt{2x+1}+1\right)\left(1-\sqrt{2x-1}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}\le1\)
\(\Leftrightarrow x\le1\)
Vậy nghiệm của pt là \(\frac{1}{2}\le x\le1\)
c/ ĐKXĐ: \(x\ge\frac{3}{2}\)
\(\sqrt{6x+6\sqrt{6x-9}}+\sqrt{6x-6\sqrt{6x-9}}=6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{6x-9}+3\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{6x-9}-3\right)^2}=6\)
\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{6x-9}+3\right|+\left|3-\sqrt{6x-9}\right|=6\)
Ta có:
\(\left|\sqrt{6x-9}+3\right|+\left|3-\sqrt{6x-9}\right|\ge\left|\sqrt{6x-9}+3+3-\sqrt{6x-9}\right|=6\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left(\sqrt{6x-9}+3\right)\left(3-\sqrt{6x-9}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{6x-9}\le3\Rightarrow x\le3\)
Vậy nghiệm của pt là \(\frac{3}{2}\le x\le3\)