1/ Chú ý rằng \(\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)
Áp dụng vào ta có: \(O^2=\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)
Do đó \(O\ge\sqrt{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
2/ Ý tưởng hay bài toán đẹp:D
VT=\(\frac{c+ab}{a+b}+\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{a+c}\)
\(=\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{a+b}+\frac{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}{a+c}\)
Đến đây ok rồi:
\(\frac{1}{2}\left[\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{a+b}+\frac{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}{b+c}\right]\ge\sqrt{\left(b+c\right)^2}=b+c\)
Rồi tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế thu được
\( VT\ge2\left(a+b+c\right)=2\)
Đẳng thức xảy ra khi a =b=c=1/3
P/s: Em ko chắc chút nào!
\(O^2=\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)^2\ge3\left(\frac{xzy^2}{xz}+\frac{xyz^2}{xy}+\frac{x^2yz}{yz}\right)=3\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)
\(\Rightarrow O\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
2/ \(\frac{ab+c}{a+b}=\frac{ab+c\left(a+b+c\right)}{a+b}=\frac{ab+ac+bc+c^2}{a+b}=\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\)
Đặt \(\left(a+b;b+c;c+a\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=2\)
BĐT trở thành: \(P=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2\) với \(x+y+z=2\)
Ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xzy^2}{xz}}=2y\); \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\); \(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\)
\(\Rightarrow2P\ge2\left(x+y+z\right)\Rightarrow P\ge x+y+z=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\) hay \(a=b=c=\frac{1}{3}\)