1) GPT : \(\sqrt{2x+2}-\sqrt{2x-1}=x\)
2) GPT : \(\sqrt{x\left(x-1\right)}+\sqrt{x\left(x-2\right)}=2\sqrt{x\left(x+3\right)}\)
3) Cho phương trình : \(\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{\left(3+x\right)\left(6-x\right)}=m\left(1\right)\)
a) Giải phương trình khi \(m=3\)
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
4) Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
\(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}-\sqrt{\left(2+x\right)\left(2-x\right)}=a\)
a/ ĐKXĐ: \(x\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x+1-\sqrt{2x+2}+\sqrt{2x-1}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2x+1-2x-2}{x+1+\sqrt{2x+2}}+\frac{2x-1-1}{\sqrt{2x-1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{x+1}{x+1+\sqrt{2x+2}}+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}\right)=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
2/ ĐKXĐ:\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x\ge2\\x\le-3\end{matrix}\right.\)
- Nhận thấy \(x=0\) là 1 nghiệm
- Với \(x\ge2\):
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}=2\sqrt{x+3}=\sqrt{4x+12}\)
Ta có \(VT\le\sqrt{2\left(x-1+x-2\right)}=\sqrt{4x-6}< \sqrt{4x+12}\)
\(\Rightarrow VT< VP\Rightarrow\) pt vô nghiệm
- Với \(x\le-3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1-x}+\sqrt{2-x}=2\sqrt{-x-3}\)
\(\Leftrightarrow3-2x+2\sqrt{x^2-3x+2}=-4x-12\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-3x+2}=-2x-15\) (\(x\le-\frac{15}{2}\))
\(\Leftrightarrow4x^2-12x+8=4x^2+60x+225\)
\(\Rightarrow x=-\frac{217}{72}\left(l\right)\)
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=0\)
Bài 3: ĐKXĐ: \(-3\le x\le6\)
Đặt \(\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=t\) \(\Rightarrow3\le t\le3\sqrt{2}\)
\(t^2=9+2\sqrt{\left(3+x\right)\left(6-x\right)}\Rightarrow-\sqrt{\left(3+x\right)\left(6-x\right)}=\frac{9-t^2}{2}\)
Phương trình trở thành:
\(t+\frac{9-t^2}{2}=m\Leftrightarrow-t^2+2t+9=2m\) (2)
a/ Với \(m=3\Rightarrow t^2-2t-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\left(l\right)\\t=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=3\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(3+x\right)\left(6-x\right)}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=6\end{matrix}\right.\)
b/ Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2+2t+9\) trên \(\left[3;3\sqrt{2}\right]\)
\(-\frac{b}{2a}=1< 3\Rightarrow\) hàm số nghịch biến trên \(\left[3;3\sqrt{2}\right]\)
\(f\left(3\right)=6\) ; \(f\left(3\sqrt{2}\right)=6\sqrt{2}-9\)
\(\Rightarrow6\sqrt{2}-9\le2m\le6\Rightarrow\frac{6\sqrt{2}-9}{2}\le m\le3\)
Bài 4 làm tương tự bài 3