Question

1 . Cho tam giác ABC , hai trung tuyến BM ,CN cắt nhau tại G .Gọi E,F lần lượt là trung điểm của GB và GC 

a, chứng minh tứ giác MNEF là hình bình hành 

b, Lấy I ,J thuộc tia đối của MG và NG sao cho MI=MG và NI = NG . Chứng minh tứ giác BCIJ là hình bình hành 

Answer 1

a) Xét ΔABC có 

N là trung điểm của AB(gt)

M là trung điểm của AC(gt)

Do đó: NM là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: NM//BC và \(NM=\dfrac{BC}{2}\)(1)

Xét ΔGBC có

E là trung điểm của GB

F là trung điểm của GC

Do đó: EF là đường trung bình của ΔGBC

Suy ra: EF//BC và \(EF=\dfrac{BC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra NM//EF và NM=EF

hay MNEF là hình bình hành

b) Xét ΔABC có 

BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC

CN là đường trung tuyến ứng với cạnh AB

BM cắt CN tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm của ΔABC

BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC

Do đó: \(GB=2GM\)

mà GF=2GM

nên GB=GF

hay G là trung điểm của BF 

Xét ΔABC có

G là trọng tâm của ΔABC

CN là đường trung tuyến ứng với cạnh AB

Do đó: \(GC=2GN\)

mà GI=2GN

nên GC=GI

hay G là trung điểm của CI

Xét tứ giác BIFC có 

G là trung điểm của đường chéo CI(cmt)

G là trung điểm của đường chéo BF(cmt)

Do đó: BIFC là hình bình hành