Bài 6:
a: Ta có: ΔABC ngoại tiếp (I)
=>AI là phân giác của góc BAC
(I) tiếp xúc với AC tại H
=>IH\(\perp\)AC tại H
Ta có: ΔADC ngoại tiếp (K)
=>AK là phân giác của góc DAC
(K) tiếp xúc với AC tại H
=>KH\(\perp\)AC tại H
Ta có: IH\(\perp\)AC
KH\(\perp\)AC
mà IH,KH có điểm chung là H
nên I,H,K thẳng hàng
b: Xét ΔAMI vuông tại M và ΔAHI vuông tại H có
AI chung
\(\widehat{MAI}=\widehat{HAI}\)
Do đó: ΔAMI=ΔAHI
=>AM=AH(1)
Xét ΔAHK vuông tại H và ΔANK vuông tại N có
AK chung
\(\widehat{HAK}=\widehat{NAK}\)
Do đó: ΔAHK=ΔANK
=>AH=AN(2)
Từ (1),(2) suy ra AM=AN
c: AI là phân giác của góc BAC
=>\(\widehat{IAC}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}\)
AK là phân giác của góc CAD
=>\(\widehat{KAC}=\dfrac{\widehat{CAD}}{2}\)
\(\widehat{IAK}=\widehat{IAC}+\widehat{KAC}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{BAC}+\widehat{DAC}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAD}\)
Bài 5:
a: Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>BA\(\perp\)BD
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>CD\(\perp\)CA
b: ta có: BA\(\perp\)BD
BA\(\perp\)CH
Do đó: BD//CH
Ta có: CD\(\perp\)CA
BH\(\perp\)AC
Do đó: CD//BH
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
c: BHCD là hình bình hành
=>BH=CD
ΔCAD vuông tại C
=>\(CA^2+CD^2=AD^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)
=>\(CA^2+BH^2=4R^2\)
d: BHCD là hình bình hành
=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HD
Xét ΔHDA có
M,O lần lượt là trung điểm của DH,DA
=>MO là đường trung bình của ΔHDA
=>MO//AH và AH=2OM
