Bài 6:
a: Ta có: \(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\)
\(DN=NC=\dfrac{DC}{2}\)
AD=BC=AB/2
mà AB=DC
nên AM=MB=DN=NC=AD=BC
Xét tứ giác AMCN có
AM//CN
AM=CN
Do đó: AMCN là hình bình hành
Xét tứ giác AMND có
AM//ND
AM=ND
Do đó: AMND là hình bình hành
Hình bình hành AMND có AM=AD
nên AMND là hình thoi
b: Xét tứ giác MBCN có
MB//CN
MB=CN
Do đó: MBCN là hình bình hành
Hình bình hành MBCN có MB=BC
nên MBCN là hình thoi
=>MC cắt BN tại trung điểm của mỗi đường và MC\(\perp\)BN tại K
=>K là trung điểm chung của MC và BN
Ta có: AMND là hình thoi
=>AN vuông góc với MD tại I và I là trung điểm chung của MD và AN
Ta có: AMCN là hình bình hành
=>AN//CM và AN=CM
Ta có: \(AI=IN=\dfrac{AN}{2}\)
\(MK=KC=\dfrac{MC}{2}\)
mà AN=MC
nên AI=IN=MK=KC
Xét tứ giác MKNI có
MK//NI
MK=NI
Do đó: MKNI là hình bình hành
Hình bình hành MKNI có \(\widehat{MIN}=90^0\)
nên MKNI là hình chữ nhật
c: Xét ΔMDC có
I,K lần lượt là trung điểm của MD,MC
=>IK là đường trung bình của ΔMDC
=>IK//DC
d: Để hình chữ nhật MKNI trở thành hình vuông thì MI=IN
Vì MI=IN
và DM=2IM
và AN=2IN
nên AN=DM
\(\widehat{MIN}=90^0\)
=>AN\(\perp\)DM tại I
Xét hình thoi AMND có AN=DM
nên AMND là hình vuông
=>\(\widehat{MAD}=\widehat{BAD}=90^0\)
AMND là hình vuông
=>\(AN=\sqrt{AM^2+AD^2}=4\sqrt{2}\left(cm\right)\)
=>\(IM=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\left(cm\right)\)
MINK là hình vuông
=>\(S_{MINK}=MI^2=8\left(cm^2\right)\)
Bài 5:
a: Xét tứ giác AEDF có \(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=\widehat{EAF}=90^0\)
nên AEDF là hình chữ nhật
=>EF=AD
b: Ta có: AEDF là hình chữ nhật
=>DF//AE và DE//AF
=>DE//AB và DF//AC
Xét ΔCAB có
D là trung điểm của BC
DF//AC
Do đó: F là trung điểm của AB
Xét ΔCAB có
D là trung điểm của BC
DE//AB
Do đó: E là trung điểm của AC
Xét tứ giác ADBG có
F là trung điểm chung của AB và DG
=>ADBG là hình bình hành
Hình bình hành ADBG có DG\(\perp\)AB
nên ADBG là hình thoi
c: Ta có:ADBG là hình thoi
=>AD=AG
=>ΔADG cân tại A
Ta có: \(\widehat{ADG}+\widehat{ADK}=\widehat{GDK}=90^0\)
\(\widehat{AGD}+\widehat{AKD}=90^0\)(ΔDKG vuông tại D)
mà \(\widehat{ADG}=\widehat{AGD}\)
nên \(\widehat{ADK}=\widehat{AKD}\)
=>ΔADK cân tại A
=>AD=AK
mà AD=AG
nên AK=AG
=>A là trung điểm của KG
Xét ΔKDG có
A là trung điểm của KG
AE//DF
Do đó: E là trung điểm của KD
Xét ΔCAB có DF//AC
nên \(\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{1}{2}\)
=>AC=2DF
mà DG=2DF
nên AC=DG
Xét tứ giác ACDG có
AC//DG
AC=DG
Do đó: ACDG là hình bình hành
=>AD cắt CG tại trung điểm của mỗi đường(1)
Xét ΔCAB có ED//AB
nên \(\dfrac{ED}{AB}=\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{1}{2}\)
=>AB=2ED
mà KD=2ED
nên KD=AB
Xét tứ giác ABDK có
DK=AB
DK//AB
Do đó: ABDK là hình bình hành
=>AD cắt BK tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1),(2) suy ra AD,BK,CG đồng quy
