Bài 4:
a: ΔOBC cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI\(\perp\)BC
Ta có: \(\widehat{OIA}=\widehat{OMA}=\widehat{ONA}=90^0\)
=>O,I,A,M,N cùng thuộc đường tròn đường kính OA
b: Gọi E là trung điểm của OA
=>O,I,A,M,N cùng thuộc (E)
Xét (O) có
AM,AN là các tiếp tuyến
Do đó: AM=AN; AO là phân giác của góc MAN; OA là phân giác của góc MON
Xét (E) có
\(\widehat{MIA}\) là góc nội tiếp chắn cung MA
\(\widehat{MOA}\) là góc nội tiếp chắn cung MA
Do đó: \(\widehat{MIA}=\widehat{MOA}\)(1)
Xét (E) có
\(\widehat{AIN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN
\(\widehat{AON}\) là góc nội tiếp chắn cung AN
Do đó: \(\widehat{AIN}=\widehat{AON}\left(2\right)\)
TA có: OA là phân giác của góc MON
=>\(\widehat{MOA}=\widehat{NOA}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{MIA}=\widehat{NIA}\)
=>IA là phân giác của góc MIN
c: Xét ΔOMA vuông tại M có \(cosMOA=\dfrac{OM}{OA}=\dfrac{1}{2}\)
=>\(\widehat{MOA}=60^0\)
=>\(\widehat{MON}=120^0\)
Diện tích hình quạt MON là:
\(S_1=\dfrac{\Omega\cdot R^2\cdot120}{360}=\dfrac{\Omega\cdot R^2}{3}\)
\(S_{MOA}=\dfrac{1}{2}\cdot OM\cdot OA\cdot sinMOA=\dfrac{1}{2}\cdot R\cdot2R\cdot sin60=R^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
=>\(S_{MONA}=2\cdot R^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=R^2\sqrt{3}\)
Diện tích phần tứ giác AMON ở ngoài (O) là:
\(R^2\sqrt{3}-\Omega\cdot\dfrac{R^2}{3}=R^2\left(\sqrt{3}-\dfrac{\Omega}{3}\right)\)
d: Ta có: AM=AN
=>A nằm trên đường trung trực của MN(4)
ta có: OM=ON
=>O nằm trên đường trung trực của MN(5)
Từ (4),(5) suy ra AO là đường trung trực của MN
=>AO\(\perp\)MN tại H và H là trung điểm của MN
Xét ΔOMA vuông tại M có MH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AM^2\)
Xét (O) có
\(\widehat{AMB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung MB
\(\widehat{MCB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB
Do đó: \(\widehat{AMB}=\widehat{MCB}\)
Xét ΔAMB và ΔACM có
\(\widehat{AMB}=\widehat{ACM}\)
\(\widehat{MAB}\) chung
Do đó: ΔAMB~ΔACM
=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}\)
=>\(AM^2=AB\cdot AC\)
=>\(AB\cdot AC=AH\cdot AO\)
Xét ΔAHK vuông tại H và ΔAIO vuông tại I có
\(\widehat{HAK}\) chung
Do đó: ΔAHK~ΔAIO
=>\(\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{AK}{AO}\)
=>\(AH\cdot AO=AK\cdot AI=AB\cdot AC\)
\(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\dfrac{AB+AB+BC}{AH\cdot AO}\)
\(=\dfrac{2AB+2BI}{AK\cdot AI}=\dfrac{2\cdot AI}{AK\cdot AI}=\dfrac{2}{AK}\)
