Bài 3:
a: Xét ΔCBA vuông tại B có \(CA^2=BA^2+BC^2\)
=>\(CA^2=3^2+4^2=25=5^2\)
=>CA=5(cm)
Xét ΔCBA có BI là phân giác
nên \(\dfrac{AI}{BA}=\dfrac{CI}{BC}\)
=>\(\dfrac{AI}{3}=\dfrac{CI}{4}\)
mà AI+CI=AC=5cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{AI}{3}=\dfrac{CI}{4}=\dfrac{AI+CI}{3+4}=\dfrac{5}{7}\)
=>\(CI=\dfrac{5}{7}\cdot4=\dfrac{20}{7}\left(cm\right);AI=\dfrac{5}{7}\cdot3=\dfrac{15}{7}\left(cm\right)\)
b: Xét ΔBAC vuông tại B và ΔHBC vuông tại H có
\(\widehat{BCA}\) chung
Do đó: ΔBAC~ΔHBC
=>\(\dfrac{BC}{CH}=\dfrac{AC}{BC}\)
=>\(CH=\dfrac{BC^2}{AC}=\dfrac{4^2}{5}=3,2\left(cm\right)\)
c:
Xét ΔCKB vuông tại K và ΔCBD vuông tại B có
\(\widehat{KCB}\) chung
Do đó: ΔCKB~ΔCBD
=>\(\dfrac{CK}{CB}=\dfrac{CB}{CD}\)
=>\(CB^2=CK\cdot CD\)
mà \(CB^2=CH\cdot CA\)
nên \(CK\cdot CD=CH\cdot CA\)
=>\(\dfrac{CH}{CD}=\dfrac{CK}{CA}\)
Xét ΔCHK và ΔCDA có
\(\dfrac{CH}{CD}=\dfrac{CK}{CA}\)
\(\widehat{HCK}\) chung
Do đó: ΔCHK~ΔCDA
d: ΔCBD vuông tại B
=>\(BC^2+BD^2=CD^2\)
=>\(CD=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}\left(cm\right)\)
\(CK\cdot CD=CB^2\)
=>\(CK\cdot\sqrt{65}=4^2=16\)
=>\(CK=\dfrac{16}{\sqrt{65}}\left(cm\right)\)
ΔCDA có CB là đường cao
nên \(S_{CDA}=\dfrac{1}{2}\cdot CB\cdot AD=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot10=20\left(cm^2\right)\)
ΔCHK~ΔCDA
=>\(\dfrac{S_{CHK}}{S_{CDA}}=\left(\dfrac{CK}{CA}\right)^2\)
=>\(\dfrac{S_{CHK}}{20}=\left(\dfrac{16}{\sqrt{65}}:5\right)^2=\left(\dfrac{16}{5\sqrt{65}}\right)^2=\dfrac{256}{25\cdot65}\)
=>\(S_{CHK}=\dfrac{1024}{325}\left(cm^2\right)\)
Bài 2:
a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có
\(\widehat{ABC}\) chung
Do đó; ΔABC~ΔHBA
b: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có
\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{HAC}\right)\)
Do đó: ΔHAB~ΔHCA
=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)
=>\(HA^2=HB\cdot HC\)
c: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)
ΔHBA~ΔABC
=>\(\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{BA}{BC}\)
=>\(\dfrac{HA}{8}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)
=>\(HA=8\cdot\dfrac{3}{5}=4,8\left(cm\right)\)