Bài 56:
a: H là trực tâm của ΔABC
=>BH\(\perp\)AC; CH\(\perp\)AB; AH\(\perp\)BC
Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>AB\(\perp\)BD
mà CH\(\perp\)AB
nên CH//BD
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó; ΔACD vuông tại C
=>AC\(\perp\)CD
mà AC\(\perp\)BH
nên BH//CD
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
=>HD đi qua trung điểm M của BC; M là trung điểm của HD
Xét ΔDAH có
M,O lần lượt là trung điểm của DH,DA
=>MO là đường trung bình của ΔDAH
=>MO//AH và \(MO=\dfrac{AH}{2}\)
b: E đối xứng H qua BC
=>BC là đường trung trực của EH
=>BC\(\perp\)EH tại trung điểm của EH; BH=BE; CH=CE
Xét ΔBHE có BH=BE
nên ΔBHE cân tại B
Ta có: BC\(\perp\)EH
AH\(\perp\)BC
mà EH,AH có điểm chung là H
nên A,H,E thẳng hàng
Ta có: BH=BE
CD=BH
Do đó: CD=BE
Ta có: CH=CE
mà BD=CH
nên CE=BD
Xét ΔEBC và ΔDCB có
EB=DC
BC chung
EC=DB
Do đó: ΔEBC=ΔDCB
=>\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)
Gọi K là giao điểm của BE và DC
Vì \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)
nên ΔKBC cân tại K
=>KB=KC
Ta có: KE+EB=KB
KD+DC=KC
mà EB=DC và KB=KC
nên KE=KD
Xét ΔKBC có \(\dfrac{KE}{KB}=\dfrac{KD}{KC}\)
nên ED//BC
=>AE\(\perp\)ED tại E
=>ΔAED nội tiếp đường tròn đường kính AD
=>E thuộc (O)
c: Xét tứ giác BEDC có DE//BC
nên BEDC là hình thang
Hình thang BEDC có BD=CE
nên BEDC là hình thang cân
