Bài 51:
a: Xét (O) có
\(\widehat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC
\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{MAC}=\widehat{ADC}\)
Xét ΔMAC và ΔMDA có
\(\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\)
\(\widehat{AMC}\) chung
Do đó: ΔMAC~ΔMDA
=>\(\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\)
=>\(MA^2=MD\cdot MC\)
b: Ta có: ΔOCD cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI\(\perp\)CD và OI là đường trung trực của CD
Vì \(\widehat{OIM}=\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^0\)
nên O,I,A,M,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM
c: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của BA
=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét ΔAOM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MA^2\)
=>\(MH\cdot MO=MC\cdot MD\)
=>\(\dfrac{MH}{MD}=\dfrac{MC}{MO}\)
Xét ΔMHC và ΔMDO có
\(\dfrac{MH}{MD}=\dfrac{MC}{MO}\)
\(\widehat{HMC}\) chung
Do đó: ΔMHC~ΔMDO
=>\(\widehat{MHC}=\widehat{MDO}\)
mà \(\widehat{MHC}+\widehat{CHO}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{MDO}+\widehat{CHO}=180^0\)
=>DCHO là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CKDO có \(\widehat{KDO}+\widehat{KCO}=90^0+90^0=180^0\)
nên CKDO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính KO
mà DCHO là tứ giác nội tiếp
nên C,K,D,O,H cùng thuộc một đường tròn
d: Xét (O) có
KD,KC là các tiếp tuyến
Do đó: KD=KC
=>K nằm trên đường trung trực của CD(3)
Ta có: ID=IC
=>I nằm trên đường trung trực của CD(4)
Ta có: OC=OD
=>O nằm trên đường trung trực của CD(5)
Từ (3),(4),(5) suy ra O,I,K thẳng hàng
Xét ΔOCK vuông tại C có CI là đường cao
nên \(OI\cdot OK=OC^2=R^2\)(6)
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OA^2=R^2\left(7\right)\)
Từ (6) và (7) suy ra \(OI\cdot OK=OH\cdot OM\)
=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{OK}\)
Xét ΔOIM và ΔOHK có
\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{OK}\)
\(\widehat{IOM}\) chung
Do đó: ΔOIM~ΔOHK
=>\(\widehat{OIM}=\widehat{OHK}=90^0\)
Ta có: \(\widehat{OHK}=\widehat{OHA}=90^0\)
mà HK,HA có điểm chung là H
nên H,K,A thẳng hàng