a: ΔABC vuông tại A
=>\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)
=>\(\widehat{C}=90^0-60^0=30^0\)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)
=>\(\dfrac{6}{BC}=\dfrac{1}{2}\)
=>BC=12(cm)
ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC^2=12^2-6^2=144-36=108\)
=>\(AC=6\sqrt{3}\left(cm\right)\)
b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>\(AH\cdot12=6\cdot6\sqrt{3}=36\sqrt{3}\)
=>\(AH=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{6^2}{12}=3\left(cm\right)\\CH=\dfrac{\left(6\sqrt{3}\right)^2}{12}=9\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
c:
Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)
=>AEHF là hình chữ nhật
=>AH=EF
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>EF*BC=AB*AC
=>\(EF=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\)
Xét ΔBHA vuông tại H có HE là đường cao
nên \(BE\cdot BA=BH^2\)
=>\(BE=\dfrac{BH^2}{BA}\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao
nên \(CF\cdot CA=CH^2\)
=>\(CF=\dfrac{CH^2}{CA}\)
\(BC\cdot BE\cdot CF=BC\cdot\dfrac{CH^2}{CA}\cdot\dfrac{BH^2}{BA}\)
\(=\dfrac{AH^4}{CA\cdot BA}\cdot BC=\dfrac{AH^4}{AH}=AH^3=EF^3\)