- Xét \(\left(I\right)\): BH là đường kính và \(M\in\left(I\right)\).
\(\Rightarrow\widehat{BMH}=90^0;MI=IH=BI=\dfrac{BH}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta MIH\) cân tại I.
\(\Rightarrow\widehat{IMH}=\widehat{IHM}\left(1\right)\).
- Xét \(\left(K\right)\): CH là đường kính và \(N\in\left(K\right)\).
\(\Rightarrow\widehat{HNC}=90^0;NK=CK=BK=\dfrac{BH}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta HNK\) cân tại K.
\(\Rightarrow\widehat{KHN}=\widehat{KNH}\left(2\right)\).
- Xét tứ giác AMHN: \(\widehat{MAN}=\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^0\)
\(\Rightarrow AMHN\) là hình chữ nhật.
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HMN}=\widehat{AHM}\left(3\right)\\\widehat{AHN}=\widehat{MNH}\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
- Lấy \(\left(1\right)+\left(3\right);\left(2\right)+\left(4\right)\), ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{IMH}+\widehat{HMN}=\widehat{IHM}+\widehat{AHM}\\\widehat{KHN}+\widehat{AHN}=\widehat{KNH}+\widehat{MNH}\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{IHM}+\widehat{AHM}=90^0\\\widehat{KHN}+\widehat{AHN}=90^0\end{matrix}\right.\) (\(AH\perp BC\) tại A).
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{IMH}+\widehat{HMN}=90^0\\\widehat{KNH}+\widehat{MNH}=90^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{IMN}=90^0\\\widehat{KNM}=90^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN\perp IM\\MN\perp NK\end{matrix}\right.\).
- Vậy MN là tiếp tuyến chung của (I), (K).
b. - Gọi O là giao của MN và AH.
- Vì \(AMHN\) là hình chữ nhật nên:
O vừa là trung điểm của AH vừa là trung điểm của MN, \(AH=MN\)
\(\Rightarrow O\) là tâm của đường tròn đường kính MN.
Mà \(OH=OA=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{1}{2}MN\) nên A,H cũng thuộc \(\left(O\right)\).
Mà \(AH\perp IK\) tại H nên IK là tiếp tuyến của \(\left(O\right)\)
