Từ giả thiết:
\(a^2_2=a_1a_3\Rightarrow\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}\) (1)
\(a^2_3=a_2a_4\Rightarrow\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{a_3}{a_4}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{a_3}{a_4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3_1+a^3_2+a^3_3}{a^3_2+a^3_3+a^3_4}=\dfrac{a_1}{a_2}.\dfrac{a_2}{a_3}.\dfrac{a_3}{a_4}=\dfrac{a_1}{a_4}\) (3)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Ta có: \(\dfrac{a^3_1+a^3_2+a^3_3}{a^3_2+a^3_3+a^3_4}=\dfrac{a_1}{a_4}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra được điều cần chứng minh.
Có: \(a^2_2=a_1.a_3\Rightarrow\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}\)
Tương tự: \(\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{a_3}{a_4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{a_3}{a_4}\Rightarrow\dfrac{a_1^3}{a_2^3}=\dfrac{a^3_2}{a_3^3}=\dfrac{a_3^3}{a_4^3}\)
AD..., có: \(\dfrac{a_1^3}{a_2^3}=\dfrac{a^3_2}{a_3^3}=\dfrac{a_3^3}{a_4^3}=\dfrac{a^3_1+a_2^3+a_3^3}{a_2^3+a_3^3+a^3_4}\)(1)
Có: \(\dfrac{a^3_1}{a_2^3}=\dfrac{a_1}{a_2}.\dfrac{a_2}{a_3}.\dfrac{a_3}{a_4}=\dfrac{a_1}{a_4}\)(2)
Từ (1) và (2) ⇒đpcm