1: Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{xAC}=\widehat{AED}\)(hai góc so le trong, ED//Ax)
nên \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{AED}+\widehat{DEC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{DEC}+\widehat{DBC}=180^0\)
Xét tứ giác BDEC có \(\widehat{DEC}+\widehat{DBC}=180^0\)
nên BDEC là tứ giác nội tiếp
2: ta có: \(\widehat{DEC}+\widehat{DBC}=180^0\)
\(\widehat{DBC}+\widehat{IBD}=180^0\)(hai góc kề bù)
Do đó: \(\widehat{IBD}=\widehat{IEC}\)
Xét ΔIBD và ΔIEC có
\(\widehat{IBD}=\widehat{IEC}\)
\(\widehat{I}\) chung
Do đó: ΔIBD đồng dạng với ΔIEC
=>\(\dfrac{IB}{IE}=\dfrac{ID}{IC}\)
=>\(IB\cdot IC=ID\cdot IE\)
3: Xét ΔAED và ΔABC có
\(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)
\(\widehat{EAD}\) chung
Do đó: ΔAED đồng dạng với ΔABC
=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\)
=>\(AE\cdot AC=AB\cdot AD\)
4: Xét (O) có K,L,C,B cùng thuộc một đường tròn
nên KLCB là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{LKB}+\widehat{LCB}=180^0\)
mà \(\widehat{LKB}+\widehat{IKB}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{IKB}=\widehat{ICL}\)
Xét ΔIKB và ΔICL có
\(\widehat{IKB}=\widehat{ICL}\)
góc I chung
Do đó: ΔIKB đồng dạng với ΔICL
=>\(\dfrac{IK}{IC}=\dfrac{IB}{IL}\)
=>\(IL\cdot IK=IB\cdot IC=ID\cdot IE\)
5: Xét ΔABC có \(\dfrac{BC}{sinBAC}=2R\)
=>\(\dfrac{BC}{sin60}=2R\)
=>\(BC=2R\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}\)
