a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AH^2=HB\cdot HC\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền BA, ta được:
\(AH^2=AM\cdot AB\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra \(HB\cdot HC=AM\cdot AB\)
b: Xét tứ giác AKHM có
\(\widehat{KAM}=\widehat{AKH}=\widehat{AMH}=90^0\)
nên AKHM là hình chữ nhật
Suy ra: \(AH=KM\left(3\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔACH vuông tại H có HK là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AK\cdot AC=AH^2\left(4\right)\)
Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\) suy ra \(MK^2=AK\cdot AC\)
c: Từ \(\left(2\right),\left(4\right)\) suy ra \(AM\cdot AB=AK\cdot AC\)
hay \(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AK}{AB}\)
Xét ΔAMK vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AK}{AB}\) chung
Do đó: ΔAMK\(\sim\)ΔACB
d: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}\)
hay \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH}{CH}\)