Nếu tồn tại 1 số hạng trong dãy, giả sử \(u_k< \dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{u_{k-1}^2}{2u_{k-1}-1}=u_k< \dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{2u_{k-1}^2-2u_{k-1}+1}{2u_{k-1}-1}< 0\)
\(\Rightarrow2u_{k-1}-1< 0\Rightarrow u_{k-1}< \dfrac{1}{2}\)
Cứ quy nạp lùi như vậy, ta sẽ có \(u_1< \dfrac{1}{2}\) (mâu thuẫn giả thiết)
\(\Rightarrow\) Mọi số hạng trong dãy đều lớn hơn \(\dfrac{1}{2}\), hay dãy đã cho là dãy dương và \(2u_n-1>0\) với mọi n
Do đó:
\(\dfrac{1}{u_{n+1}}=-\dfrac{1}{u_n^2}+\dfrac{2}{u_n}\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}-1=-\dfrac{1}{u_n^2}+\dfrac{2}{u_n}-1=-\left(\dfrac{1}{u_n}-1\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}\le1\Rightarrow u_{n+1}\ge1\Rightarrow\) dãy bị chặn dưới bởi 1
\(u_n-u_{n+1}=u_n-\dfrac{u_n^2}{2u_n-1}=\dfrac{u_n\left(u_n-1\right)}{2u_n-1}\ge0\Rightarrow u_n\ge u_{n+1}\Rightarrow\) dãy giảm
Dãy giảm và bị chặn dưới \(\Rightarrow\) dãy bị chặn
b.
Từ phân tích trên: \(\dfrac{1}{u_{n+1}}-1=-\left(\dfrac{1}{u_n}-1\right)^2\) \(\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{u_{n+1}}=\left(1-\dfrac{1}{u_n}\right)^2\)
Đặt \(v_n=1-\dfrac{1}{u_n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1-\dfrac{1}{u_1}=\dfrac{1}{2}\\v_{n+1}=v_n^2\end{matrix}\right.\)
\(v_{n+1}=v_n^2=v_{n-1}^{2^2}=v_{n-2}^{2^3}=...=v_1^{2^n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^n}\)
\(\Rightarrow v_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^{n-1}}\)
\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{1-v_n}=\dfrac{1}{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^{n-1}}}=\dfrac{2^{2^{n-1}}}{2^{2^{n-1}}-1}\)