Xét ΔABC có
P là trung điểm của BC(gt)
M là trung điểm của AB(gt)
Do đó: PM là đường trung bình của ΔABC
Suy ra: PM//AC và \(PM=\dfrac{AC}{2}\)
mà N∈AC và \(AN=\dfrac{AC}{2}\)
nên PM//AN và PM=AN
Xét tứ giác AMPN có
PM//AN(cmt)
PM=AN(cmt)
Do đó: AMPN là hình bình hành
Suy ra: Hai đường chéo AP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
mà AP cắt MN tại I
nên I là trung điểm chung của AP và MN
- Ta có: P là trung điểm của BC (gt) => BP=CP
- Xét △ABP có:
+ M và I là trung điểm của AB và AP => \(IM//BP\) ; \(IM=\dfrac{BP}{2}\)
- Xét △ACP có:
+ I và N là trung điểm của AP và AC => \(IN//CP\) ; \(IN=\dfrac{CP}{2}\)
- Mà \(BP=CP\) => \(\dfrac{BP}{2}=\dfrac{CP}{2}\) hay: \(IM=IN\left(1\right)\)
- △AIN và △APC có:
\(\dfrac{IA}{AP}=\dfrac{IN}{CP}\)
\(\dfrac{IN}{CP}=\dfrac{1}{2}\) \(\left(IN=\dfrac{CP}{2}\right)\)
=> \(\dfrac{IA}{AP}=\dfrac{1}{2}\)
Mà: \(AP=IA+IP\)
hay: \(1=\dfrac{1}{2}+AP\)
=> \(AP=\dfrac{1}{2}\)
=> \(IA=IP\) hay I là trung điểm của AP (2)
Từ (1); (2). Vậy: I là trung điểm chung của MN và AP (đpcm)
Xét tam giác ABC có:
MA = MB ( vì M là trung điểm của AB)
NA = NC (vì N là trung điểm của AC)
\(\Rightarrow\) MN là đường trung bình của tam giác ABC
\(\Rightarrow\) MN // BC
Vì AP cắt MN tại I nên I \(\in\)AP ; I \(\in\)MN
Hay IN // BC ; MI // BC
Xét tam giác APC có:
NA = NC ( vì N là trung điểm của AC)
NI // PC
\(\Rightarrow\) I là trung điểm của AP
\(\Rightarrow\)NI là đường trung bình của tam giác APC
\(\Rightarrow\) \(NI=\dfrac{1}{2}PC\)(1)
Vì P là trung điểm của BC nên PB = PC
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{2}BP=\dfrac{1}{2}PC\) (2)
Xét tam giác ABP có:
MB = MA ( vì M là trung điểm của AB)
IM // BP
\(\Rightarrow\) I là trung điểm của AP
\(\Rightarrow\)MI là đường trung bình của tam giác ABP
\(\Rightarrow\) \(MI=\dfrac{1}{2}BP\) (3)
Từ (1); (2);(3)
\(\Rightarrow\) MI = MN hay I là trung điểm của MN
Vậy I là trung điểm của MN và AP
