Chứng minh rằng: x³(x² - 7) - 36x chia hết cho 7 với mọi số nguyên x.

Cho hai số nguyên x,y thỏa mãn: x² + x²y² + 2y = 0 và x³ + 2y² - 4y + 3 = 0. Tính: F = 2013x² + 2014y²

Cho tứ giác ABCD có số đo các cạnh là a,b,c,d (a,b,c,d là các số nguyên dương). Biết a,b,c,d đều là các ước của a+b+c+d. CMR: tứ giác ABCD có ít nhất hai cạnh bằng nhau.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x,y sao cho d = 4x⁴ + y⁴ là số nguyên tố.

Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: xy+2y = x²+5x-1

Trong hình vuông ABCD dựng tam giác đều ABK. Các đường thẳng AD và BK cắt nhau tại P.CMR: đoạn thẳng nối hai trung điểm của các đoạn thẳng KD và CP bằng nửa cạnh hình vuông.

Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}\); O là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Vẽ AO,BO,CO lần lượt cắt P,Q,R. CMR: OP+OQ+OR<BC

Cho hình thang ABCD (AB//CD). M∈AD, N∈BC sao cho AM/MD =CN/NB . MN cắt BD, AC lần lượt tại E và F. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt DC tại H. AC cắt BD tại O, HO cắt MN tại I. Chứng minh:

a) HN//BD.

b) IE=IF, ME=MF.