Đặt \(\sqrt{x^2-x+1}=a>0;\sqrt{x^2+x+1}=b>0\).

\(PT\Leftrightarrow2a^2-b^2=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+\dfrac{\sqrt{3}}{2}b\right)\left(2a-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2a-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}b=0\) (Do a, b > 0)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-x+1}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^2+x+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+1=\dfrac{1}{3}\left(x^2+x+1\right)\Leftrightarrow2x^2-4x+2=0\Leftrightarrow x=1\).

Vậy x = 1

Đặt \(A=\sqrt[3]{4-2\sqrt{6}}+\sqrt[3]{4+2\sqrt{6}}\)

\(\Rightarrow A^3=4-2\sqrt{6}+4+2\sqrt{6}+3\left(\sqrt[3]{4+2\sqrt{6}}+\sqrt[3]{4-2\sqrt{6}}\right)\sqrt[3]{4+2\sqrt{6}}\sqrt[3]{4-2\sqrt{6}}=8-6A\)

\(\Rightarrow A^3+6A-8=0\).

Giải pt bậc 3 này ta được \(A\approx1,107\).

P/s: Bài này có vấn đề vì pt bậc 3 này muốn giải dc phải dùng công thức nghiệm?

a) ĐKXĐ: \(x^2+3x\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge0\\x\le-3\end{matrix}\right.\).

PT \(\Leftrightarrow10-\left(x^2+3x\right)=3\sqrt{x^2+3x}\). (*)

Đặt \(\sqrt{x^2+3x}=a\ge0\). 

\((*)\Leftrightarrow a^2+3a-10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a+5\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\\a=-5\left(l\right)\end{matrix}\right.\).

Với \(a=2\Rightarrow\sqrt{x^2+3x}=2\Leftrightarrow x^2+3x-4=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+4\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(TM\right)\\x=-4\left(TM\right)\end{matrix}\right.\).

Vậy x = 1; x = -4

a) Ta có công thức \(r=\dfrac{S}{p}\).

Từ đó \(\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}=\dfrac{1}{2S:a}+\dfrac{1}{2S:b}+\dfrac{1}{2S:c}=\dfrac{a}{2S}+\dfrac{b}{2S}+\dfrac{c}{2S}=\dfrac{2p}{2S}=\dfrac{p}{S}=\dfrac{1}{r}\).

b) Gọi tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC là J, M, N, P lần lượt là tiếp điểm của (J) trên BC, CA, AB.

Khi đó JM = JN = JP = \(r_a\).

Ta có \(S_{ABC}=S_{JAB}+S_{JAC}-S_{JBC}=\dfrac{JP.AB}{2}+\dfrac{JP.AC}{2}-\dfrac{JP.BC}{2}=\dfrac{JP\left(AB+AC+BC-2BC\right)}{2}=\dfrac{JP\left(2p-2a\right)}{2}=r_a\left(p-a\right)\).

Tương tự ta có \(S=\left(p-a\right)r_a=\left(p-b\right)r_b=\left(p-c\right)r_c\).

c) Ta có \(\dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}=\dfrac{p-a}{S}+\dfrac{p-b}{S}+\dfrac{p-c}{S}=\dfrac{3p-\left(a+b+c\right)}{S}=\dfrac{3p-2p}{S}=\dfrac{p}{S}=\dfrac{1}{r}\).

d) Giống câu c

Từ giả thiết ta có \(2y^2=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)\).

Từ đó \(x^2=2k+1\left(k\in N\right)\) nên \(2k\left(k+1\right)=y^2\).

Suy ra |y| chẵn. Đặt |y| = 2h thì \(k\left(k+1\right)=2h^2\).

+) Nếu k = 0 thì x = 1 hoặc x = -1; y = 0.

+) Nếu k > 0 thì ta có (k, k + 1) = 1. Mặt khác x² chia 4 dư 1 nên k chẵn. Từ đó \(k=2u^2;k+1=v^2\Rightarrow x^2=2k+1=4u^2+1\)

\(\Rightarrow\left(x-2u\right)\left(x+2u\right)=1\).

Do đó x - 2u = x + 2u = 1 hoặc x - 2u = x + 2u = -1. Suy ra x = 1 hoặc x = -1. Tương ứng ta có y = 0.

Vậy x = 1; y = 0.