Giả thiết tương đương \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2=29\).

Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz ta có:

\(\left(2x-3y+4z-20\right)^2=\left[2\left(x-1\right)-3\left(y+2\right)+4\left(z-3\right)\right]^2\le\left(2^2+3^2+4^2\right)\left[\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2\right]=29^2\Rightarrow\left|2x-3y+4z-20\right|\le29\)

Ta có \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}=1\)

\(\Rightarrow a^2\left(1-b^2\right)+b^2\left(1-a^2\right)+2ab\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}=1\)

\(\Rightarrow\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)-2ab\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}+\left(ab\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}-ab\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}=ab\Rightarrow\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)=a^2b^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=1\).

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình bình hành ABCE.

Ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}\).

\(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{ME}\).

Từ đó \(T=3MO+3ME\ge3OE\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao của OE và AC, tức M là trung điểm của AC.

Vậy...

Tui chỉ mới nghĩ ra cách này chứ mấy cách hay hơn không theo được :vv

Tui chỉ mới nghĩ ra cách này chứ mấy cách hay hơn không theo được :vv

Từ phương trình đã cho suy ra \(\sqrt[7]{z+75938}+\sqrt[7]{z+14197}+\sqrt[7]{z}=12\).

Nếu \(z>2187\Rightarrow VT>12\).

Tương tự với z < 2187.

Suy ra \(z< 2187\) nên y = ...; x = ...