Sửa đề là z-x không phải x-z nhé!

Đặt: `a=x-y;b=y-z;c=z-x` 

Ta có: `abc=9` và cần tính `B=a^3+b^3+c^3`

`B-3abc=a^3+b^3+c^3-3abc`

`=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc`

`=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)`

`=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ab-ac+c^2-3ab)`

`=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)`

Mà: `a+b+c=x-y+y-z+z-x=0`

`=>B-3abc=0<=>B=3abc=3*9=27` 

`x^2-6x+13+y^2-4y=0`

`<=>(x^2-6x+9)+(y^2-4y+4)=0`

`<=>(x-3)^2+(y-2)^2=0`

`(x-3)^2>=0` và `(y-2)^2>=0`

`=>(x-3)^2+(y-2)^2>=0`

`<=>x-3=0` hoặc `y-2=0`

`<=>x=3` hoặc `y=2`

Vậy: `(x;y)=(3;2)`

`(4x-1)^30-(4x-1)^20=0`

`<=>(4x-1)^20*(4x-1)^10-(4x-1)^20=0`

`<=>(4x-1)^20*[(4x-1)^10-1]=0`

`<=>(4x-1)^20=0` hoặc `(4x-1)^10-1=0`

`<=>4x-1=0` hoặc `(4x-1)^10=1`

`<=>4x=1` hoặc `4x-1=1` hoặc `4x-1=-1`

`<=>x=1/4` hoặc `4x=1+1` hoặc `4x=1-1`

`<=>x=1/4` hoặc `4x=2` hoặc `4x=0`

`<=>x=1/4` hoặc `x=1/2` hoặc `x=0` 

Vậy: ... 

`10-3n` chia hết cho `n-2`

`=>-3n+10` chia hết cho `n-2`

`=>(-3n+6)+4` chia hết cho `n-2`

`=>-3(n-2)+4` chia hết cho `n-2`

`=>4` chia hết cho `n-2`

`=>n-2 ∈Ư(4)={1;-1;2;-2;4;-4}`

`=>n∈{3;1;4;0;6;-2}` 

Mà n là STN `=>n∈{0;1;3;4;6}`

Ta có: `a_n=1+2+3+...+n`

`=[(n-1):1+1](n+1)/2=(n(n+1))/2`

`a_(n+1)=1+2+3+...+(n+1)`

`=[(n+1-1):1+1](n+1+1)/2=((n+1)(n+2))/2`

`=>a_n+a_(n+1)`

`=(n(n+1))/2+((n+1)(n+2))/2`

`=(n+1)/2*(n+n+2)`

`=(n+1)(2n+2)/2`

`=(n+1)^2` là số chính phương => Đpcm 

ĐK: `x>=0`

Đặt `\sqrt{x}=a>=0`

Phương trình trở thành:

`6^(a-1)+6^(a+1)=1332`

`=>6^(a-1)+6^(a-1)*6^2=1332`

`=>6^(a-1)*(1+6^2)=1332`

`=>6^(a-1)*37=1332`

`=>6^(a-1)=1332:37`

`=>6^(a-1)=36`

`=>6^(a-1)=6^2`

`=>a-1=2=>a=1+2=3`

`=>\sqrt{x}=3=>x=3^2=9` (tm)

Áp dúng tính chất dãy tỉ số bằng nhau là:

`x/3=y/7=z/2=(x+y-z)/(3+7-2)=-16/8=-2`

`=>x/3=-2=>x=3*(-2)=-6`

`=>y/7=-2=>y=7*(-2)=-14`

`=>z/2=-2=>2*(-2)=-4`

Vậy: .... 

Ta có:

`1/a+1/b+1/c=1/3=1/(a+b+c)`

`<=>(ab+bc+ca)/(abc)=1/(a+b+c)`

`<=>(a+b+c)(ab+bc+ca)=abc`

`<=>(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=0`

`<=>(a+b)(ab+bc+ca)+c(ab+bc+ca)-abc=0`

`<=>(a+b)(ab+bc+ca)+c(ab+bc+ca-ab)=0`

`<=>(a+b)(ab+bc+ca)+c(bc+ca)=0`

`<=>(a+b)(ab+bc+ca)+c^2(a+b)=0`

`<=>(a+b)(ab+bc+ca+c^2)=0`

`<=>(a+b)[b(a+c)+c(a+c)]=0`

`<=>(a+b)(a+c)(b+c)=0`

`<=>a=-b` hoặc `c=-a` hoặc `b=-c` 

TH1: `a=-b=>T=(a^2025+b^2025)(...)=(a^2025-a^2025)(...)=0(..)=0`

TH2: `c=-a=>T=(c^2025+a^2025)(...)=(c^2025-c^2025)(...)=0(...)=0`

TH3: `b=-c=>T=(b^2025+c^2025)(...)=(b^2025-b^2025)(...)=0(...)=0`

Vậy `T=0`

`a)4x^2-5`

`=(2x)^2-(\sqrt{5})^2`

`=(2x-\sqrt{5})(2x+\sqrt{5})` 

(Theo HĐT số 3: `a^2-b^2=(a+b)(a-b)`)

`b)2xy^2-2xy+y-1`

`=(2xy^2-2xy)+(y-1)`

`=(2xy*y-2xy*1)+(y-1)`

`=2xy(y-1)+(y-1)*1`

`=(y-1)(2xy+1)`

`2/2024+4/2024+...+2022/2024`

`=1/1012+2/1012+...+1011/1012`

`=(1+2+...+1011)/1012`

Xét tổng: `1+2+...+1011`

Số lượng số hạng là:

`(1011-1):1+1=1011` (số hạng)

Tổng: `(1011+1) xx 1011 : 2 = 511566`

`2/2024+4/2024+...+2022/2024`

`=511566/1012=1011/2`