Cho \(F\left(x\right)=-\dfrac{1}{3x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{f\left(x\right)}{x}.\) Họ nguyên hàm của hàm số \(f'\left(x\right)\ln x\) là
\(\dfrac{\ln x}{x^3}+\dfrac{1}{5x^5}+C\).\(\dfrac{\ln x}{x^3}-\dfrac{1}{5x^5}+C\).\(\dfrac{\ln x}{x^3}+\dfrac{1}{3x^3}+C\).\(-\dfrac{\ln x}{x^3}+\dfrac{1}{3x^3}+C\).Hướng dẫn giải:Vì \(f'\left(x\right)\text{d}x=\text{d}f\left(x\right)\) nên ta có \(\int f'\left(x\right)\ln x\text{d}x=\int\ln x\text{d}f\left(x\right)=f\left(x\right)\ln x-\int f\left(x\right)\text{d}\ln x=f\left(x\right)\ln x-\int\frac{f\left(x\right)}{x}\text{d}x\) (1)
Từ giả thiết suy ra \(\int\frac{f\left(x\right)}{x}\text{d}x=-\frac{1}{3x^3}+C\) nên thế vào (1) ta được \(\int f'\left(x\right)e^{2x}\text{d}x=f\left(x\right)\ln x+\frac{1}{3x^3}+C\) (2)
Lại vì \(F\left(x\right)=-\frac{1}{3x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{f\left(x\right)}{x}\) nên \(\left(-\frac{1}{3x^3}\right)'=F'\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x}\Rightarrow f\left(x\right)=x.x^{-4}=\frac{1}{x^3}\), thế vào (2) ta có \(\int f'\left(x\right)e^{2x}\text{d}x=\frac{\ln x}{x^3}+\frac{1}{3x^3}+C\).
