Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\) thì ABC là tam giác vuông. Nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện vecto \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) vuông góc với vecto \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\) thì ABC là tam giác cân. Nếu tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là 5; 7; 8 thì ABC là tam giác có một góc bằng \(60^0\) Nếu tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a = 21; b = 17; c = 10 thì trung tuyến kẻ từ đỉnh A có độ dài bằng 9. Hướng dẫn giải:a) \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|^2=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)^2=\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)^2\Leftrightarrow2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow A=90^0\)
b) vecto \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) vuông góc với vecto \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\) khi và chỉ khi \(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\right)=0\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=0\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{AC}^2=0\Leftrightarrow AB^2-AC^2=0\)
\(\Leftrightarrow AB^2-AC^2=0\Leftrightarrow AB=AC\Leftrightarrow ABC\)là tam giác cân ở A.
c) Theo hệ quả định lí côsin ta có
\(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{5^2+8^2-7^2}{2.5.8}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A=60^0\)
Khẳng định sai là " Nếu tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a = 21; b = 17; c = 10 thì trung tuyến kẻ từ đỉnh A có độ dài bằng 9".
Thật vậy, áp dụng công thức tính trung tuyến \(m_a^2=\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\) ta có
\(m_a^2=\dfrac{2\left(17^2+10^2\right)-21^2}{4}=\dfrac{337}{4}\ne9^2\)
