Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\log\left(mx\right)=2\log\left(x+1\right)\) có nghiệm ?
\(m>4\) \(m\ge4\) \(m=-1\) \(m< 0;m\ge4\) Hướng dẫn giải:Phương trình tương đương:
\(\left\{\begin{matrix}mx>0\\x+1>0\\\log\left(mx\right)=2\log\left(x+1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}mx>0\\x+1>0\\mx=\left(x+1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+1>0\\mx=\left(x+1\right)^2\end{matrix}\right.\) (vì với 2 điều kiện này đã đảm bảo mx > 0 rồi)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+1>0\\m=\frac{\left(x+1\right)^2}{x}\end{matrix}\right.\)
Vậy m phải là một giá trị của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)^2}{x}\) khi \(x>-1\).
\(f'\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2}\)
Ta thấy \(f'\left(x\right)\) chỉ có 1 nghiệm x=1 trong \(\left(-1;+\infty\right)\).
Ta có bảng biến thiên của f(x) với x > -1:
Nhìn vào bảng biến thiên ta có miền giá trị của f(x) là (\(-\infty;0\)) \(\cup\)[\(4;+\infty\))
Vậy \(m< 0;m\ge4\)
