Tìm tất cả các giá trị của m để hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}x^2+2x-15\le0\\\left(m+1\right)x\ge3\end{matrix}\right.\) có nghiệm.
\(m\in R\backslash\left(-\dfrac{8}{5},0\right)\).\(m\in R\backslash\left(0;\dfrac{8}{5}\right)\).\(m\in R\backslash\left(0;\dfrac{9}{5}\right)\).\(m\in R\backslash\left(-\dfrac{9}{5},0\right)\).Hướng dẫn giải:Cách 1: Bất phương trình thứ nhất của hệ có tập nghiệm là đoạn \([-5;3]\) .
Nếu \(m=-1\) thì bất phương trình thứ hai của hệ là \(0x\ge3\) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.
Nếu \(m\ne-1\) thì bất phương trình thứ hai của hệ đã cho là một bất phương trình bậc nhất, có tập nghiệm là một nửa khoảng. Hệ đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi đoạn \([-5;3]\) không có điểm chung với nửa khoảng đó, điều này tương đương với hai đầu mút của đoạn \([-5;3]\) không phải là nghiệm của bất phương trình thứ hai, tức là
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m+1\right).\left(-5\right)< 3\\\left(m+1\right).3< 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\dfrac{8}{5}< m< 0\)\(\Leftrightarrow m\in\left(-\dfrac{8}{5};0\right)\) (bỏ đi \(m=-1\) )
Tổng hợp cả hai trường hợp, ta thấy hệ đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Leftrightarrow m\in\left(-\dfrac{8}{5};0\right)\); hệ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi
\(m\in R\backslash\left(-\frac{8}{5},0\right)\).
Đáp số: \(m\in R\backslash\left(-\frac{8}{5},0\right)\).
Cách 2: Hệ đã cho tương đương với \(\left\{{}\begin{matrix}x\in[-5;3]\\f\left(x\right)=\left(m+1\right)x-3\ge0\end{matrix}\right.\) . Hệ sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(f\left(x\right)< 0,\) \(\forall x\in[-5;3]\) ,
tức là đoạn thẳng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in[-5;3]\\y=f\left(x\right)=\left(m+1\right)x-3\end{matrix}\right.\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi cả hai đầu mút của đoạn là \(A\left(-5;-5m-8\right)\) và \(B\left(3;3m\right)\) nằm phía dưới Ox .
Vậy hệ sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}-5m-8< 0\\3m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\dfrac{8}{5}< m< 0\Leftrightarrow m\in\left(-\dfrac{8}{5};0\right)\).
Hệ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \(m\in R\backslash\left(-\frac{8}{5},0\right)\) . Đây chính là đáp số của bài toán.
