Tìm các giá trị của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y=x^3-3mx^2+4m^3\) có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng \(y=x\) .
\(m=0\) \(m=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(m=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(m=1\) Hướng dẫn giải:Để hàm số có hai điểm cực trị, cần và đủ là \(y'=3x^2-6mx=3x\left(x-2m\right)\) phải có hai nghiệm khác nhau, tức là \(m\ne0\).
Khi đó, \(y'\) có hai nghiệm là \(0\) và \(2m\) và hai điểm cực trị là: \(A\left(0;4m^3\right),B\left(2m;0\right)\). Hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua đường thằng \(y=x\) khi và chỉ khi \(4m^3=2m\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) (do điều kiện \(m\ne0\)).
