Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}x^2-3x+2\le0\\x^2-6x+m\left(6-m\right)\ge0\end{matrix}\right.\) có nghiệm duy nhất.
m = 1 hoặc m = 5.m = -1 hoặc m = - 5.m = 2 hoặc m = 4.m = -2 hoặc m = -4.Hướng dẫn giải:
Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm \(N_1=[1;2]\). Tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=x^2-6x+m\left(6-m\right)\) ở vế trái bất phương trình thứ hai có hai nghiệm là \(m\) và \(6-m\) (theo Viet).
1) Nếu \(m=6-m\) thì bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là \(N_2=\left(-\infty;+\infty\right)\) nên tập nghiệm của hệ đã cholà \(N=N_1\cap N_2=[1;2]\). Hệ có vô số nghiệm (Loại)
2) Nếu \(m\ne6-m\) thì \(N_2=\)(\(-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty\)), trong đó \(x_1,x_2\) là hai nghiệm phân biệt của \(f\left(x\right)\). Vì vậy nếu hệ đã cho sẽ có nghiệm duy nhất chỉ khi \(x_1=1< 2=x_2\) (nghiệm duy nhất của hệ là \(x=1\)) hoặc \(x_1< 1< 2=x_2\) (nghiệm duy nhất của hệ là \(x=2\)). Từ đó phải có \(f\left(1\right)=0\) hoặc \(f\left(2\right)=0\), tức là
\(\left[{}\begin{matrix}-5+6m-m^2\\-8+6m-m^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1;m=5\\m=2;m=4\end{matrix}\right.\)
Thử lại: Khi \(m=1\)hoặc \(m=5\) thì \(f\left(x\right)\) có 2 nghiệm là 1 và 5 nên \(N_2=\)(\(-\infty;1]\cup[5;+\infty\)), do đó \(N=\left\{1\right\}\), hệ có nghiệm duy nhất \(x=1\).
Khi \(m=2\) hoặc \(m=4\) thì \(f\left(x\right)\) có hai nghiệm là 2 và 4 nên \(N_2=\) (\(-\infty;2]\cup[4;+\infty\)), do đó \(N=[1;2]\), hệ có vô số nghiệm (Loại).
Đáp số: \(m=1;m=5\).
