Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình \(\left|\dfrac{x^2+mx+1}{x^2+1}\right|< 2\) đúng với mọi \(x\).
\(m\in\left(-6;-2\right)\).\(m\in\left(-2;2\right)\).\(m\in\left(2;6\right)\).\(m\in\left(-6;6\right)\).Hướng dẫn giải:Xét các hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+3x+1}{x^2+1}\) và \(g\left(x\right)=\dfrac{x^2-3x+1}{x^2+1}\) . Sử dụng MTCT ta tính được ngay
\(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=g\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{31}{13}\) \(\Rightarrow\left|f\left(\dfrac{3}{2}\right)\right|=\left|g\left(-\dfrac{3}{2}\right)\right|=\dfrac{31}{13}>2\) . Do đó khi m = 3 thì bất phương trình đã cho không được nghiệm đúng với \(x=\dfrac{3}{2}\), khi m = -3 thì bất phương trình đã cho không được nghiệm đúng với \(x=-\dfrac{3}{2}\) . Vì vậy các đáp số \(m\in\left(-6;-2\right)\), \(m\in\left(2;6\right)\), \(m\in\left(-6;6\right)\) đều sai. Đáp án đúng chỉ có thể là \(m\in\left(-2;2\right)\).
Có thể chứng minh tính đúng đắn của đáp số như sau (học sinh không cần phải làm điều này):
Ta có \(\left|\frac{x^2+mx+1}{x^2+1}\right|< 2\)\(\Leftrightarrow\)\(-2< \dfrac{x^2+mx+1}{x^2+1}< 2\) \(\Leftrightarrow\) \(-2\left(x^2+1\right)< x^2+mx+1< 2\left(x^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-mx+1>0\\3x^2+mx+3>0\end{matrix}\right.\). Bất phương trình đã cho sẽ đúng với mọi \(x\) khi và chỉ khi cả hai tam thức bậc hai \(x^2-mx+1\) và \(3x^2+mx+3\) đều luôn luôn dương, tức là phải có
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=m^2-4< 0\\\Delta_2=m^2-36< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m^2< 4\Leftrightarrow-2< m< 2\Leftrightarrow m\in\left(-2;2\right)\).
Đáp số: \(m\in\left(-2;2\right)\)
