Tìm các giá trị của a để hệ bất phương trình sau vô nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+7x-8\le0\\a^2x+1>3+\left(3a-2\right)x\end{matrix}\right.\) .
\(a< 0\) hoặc \(a>2\).\(0< a< 1\).\(1< a< 2\).\(0\le a\le3\).Hướng dẫn giải:Hệ đã cho tương đương với \(\left\{{}\begin{matrix}-8\le x\le1\\\left(a^2-3a+2\right)x-2>0\end{matrix}\right.\) .
Khi \(a=0\), bất phương trình thứ hai của hệ là \(2x-2>0\Leftrightarrow x>1\) hệ đã cho vô nghiệm. Các đáp số:
+ \(a< 0\) hay \(a>2\) sai
+ \(0< a< 1\)
+ \(1< a< 2\)
đều sai vì sót giá trị \(a=0\) . Đáp số đúng phải là \(0\le a\le3\) .
Chú ý: có thể kiểm tra được khẳng định \(0\le a\le3\) là đáp số đúng như sau (tuy nhiên, trong phòng thi học sinh không phải làm điều này): Hệ \(\left\{{}\begin{matrix}-8\le x\le1\\\left(a^2-3a+2\right)x-2>0\end{matrix}\right.\) sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)=\left(a^2-3a+2\right)x-2\) với
\(x\in[-8;1]\) phải nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Mà đồ thị đó là đoạn thẳng nối hai điểm \(A\left(-8;f\left(-8\right)\right)\) và \(B\left(1;f\left(1\right)\right)\) nên để đoạn AB nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành thì điều kiện cần và đủ là A, B nằm phía dưới Ox, tức là
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-8\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-3a+2\right).\left(-8\right)-2\le0\\\left(a^2-3a+2\right).1-2\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a^2-12a+7\ge0\\a^2-3a\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0\le a\le3\).
