Tam giác ABC có BC=6 ; \(\widehat{ABC}=60^0;\widehat{ACB}=45^0\). Tính độ dài hai cạnh còn lại.
\(\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1};\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}\) \(\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}};\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\) \(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}};\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) \(\frac{12}{\sqrt{3}+1};\frac{12}{\sqrt{2}+1}\) Hướng dẫn giải:Theo định lí sin :
\(\dfrac{AB}{\sin45^0}=\dfrac{AC}{\sin60^0}=\dfrac{BC}{\sin75^0}=\dfrac{6}{\sin75^0}\)
Suy ra \(AB=\dfrac{6\sin45^0}{\sin75^0}=\dfrac{3\sqrt{2}}{\sin75^0},AC=\dfrac{6\sin60^0}{\sin75^0}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sin75^0}\)
Còn phải tính \(\sin75^0\).
Chú ý rằng với mọi tam giác ABC ta có
\(\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\Rightarrow c\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}\). Tương tự \(b\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}\). Suy ra
\(c\cos B+b\cos C=a\Rightarrow2R\left(\sin C\cos B+\sin B\cos C\right)=2R\sin A\)
\(\Rightarrow\sin A=\sin B\cos C+\sin C\cos B\)\(\Rightarrow\sin75^0=\sin60^0\cos45^0+\sin45^0\cos60^0=\dfrac{\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}};AB=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)
