Giải phương trình \(\tan3x.\tan x=1\).
\(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{4}\) , \(k\in\mathbb{Z}\).Phương trình vô nghiệm.\(x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{4}\) , \(k\in\mathbb{Z}\).\(x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}\) , \(k\in\mathbb{Z}\).Hướng dẫn giải:Điều kiện: \(\begin{cases}\cos\left(3x\right)\ne0\\\cos x\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow cos3x\ne0\)
\(\Leftrightarrow3x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
\(\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}\)
Biến đổi phương trình ban đầu ta có:
\(\tan\left(3x\right).\tan x=1\)
Dễ thấy tanx = 0 không là nghiệm của phương trình, từ đó ta có:
\(\Leftrightarrow\tan\left(3x\right)=\frac{1}{\tan x}\)
\(\Leftrightarrow\tan\left(3x\right)=\cot x\)
\(\Leftrightarrow\tan\left(3x\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) (công thức lượng giác của hai góc phụ nhau)
\(\Leftrightarrow3x=\frac{\pi}{2}-x+k\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4}\) với \(k\in\mathbb{Z}\)
Đối chiếu với điều kiện ta thấy họ nghiệm trên thỏa mãn.