Giải phương trình \(\cos2x.\tan x=0\).
\(x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\) , \(k\in\mathbb{Z}\).\(x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2};x=k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).\(x=k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\) , \(k\in\mathbb{Z}\)\(x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{4}\).Hướng dẫn giải:Điều kiện: để cho tan có nghĩa thì \(\)\(x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi,m\in\mathbb{Z}\)( có điểm biểu diễn là hai giao điểm của đường tròn lượng giác với trục tung) (*)
Phương trình đã cho tương đương với:
\(\left[\begin{array}{nghiempt}\cos\left(2x\right)=0\\\tan x=0\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\x=k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\x=k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in\mathbb{Z}\)
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy hai họ nghiệm trên đều thỏa mãn.
Cách khác: Đặt \(\tan x=t\) thì \(\cos2x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) nên phương trình đã cho trở thành \(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}.t=0\Leftrightarrow t=0,t=\pm1\). Như vậy phương trình đã cho tương đương với tập hợp ba phương trình \(\tan x=0,\tan x=1,\tan x=-1\). Các nghiệm của ba phương trình này là \(x=k\pi,x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\).
