Giải hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}x^2+5x+4< 0\\x^3+3x^2-9x-10>0\end{matrix}\right.\) ta được tập nghiệm là
\(\left(-4;-1\right)\).\(\left(-3;-1\right)\).\(\left(-2;-1\right)\).\(\left(-1;1\right)\).Hướng dẫn giải:Cách 1:Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là khoảng \(\left(-4;-1\right)\). Tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là tập con của khoảng này mà trên đó hàm số \(f\left(x\right)=x^3+3x^2-9x-10\) nhận giá trị dương. Xét dãy số -3,5 ; -3; -2,5;...; -0,5 (số hạng đầu là -3,5; số hạng cuối là -0,5, bước nhảy 0,5). Tính giá trị \(f\left(x\right)\) tại các điểm này bằng MTCT (MODE 7: TABL) ta được dãy các giá trị tương ứng là 15,375; 17; 15,625; 12; 6,875; 1; -4,875. Để ý dấu các giá trị này ta thấy các số hạng trong dãy trên - trừ ra số hạng cuối cùng đều là nghiệm của hệ. Như vậy các đáp số \(\left(-3;-1\right)\) , \(\left(-2;-1\right)\), \(\left(-1;1\right)\) đều thiếu nghiệm -3,5 nên đều là các đáp số sai. Đáp số đúng phải là \(\left(-4;-1\right)\).
Cách 2: Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là \(N_1=\left(-4;-1\right)\). Đặt \(f\left(x\right)=x^3+3x^2-9x-10\) thì bất phương trình thứ hai có dạng \(f\left(x\right)>0\). Sử dụng MTCT ta tìm được 3 nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=0\) viết theo thứ tự tăng là \(x_1=-4,505039725\), \(x_2=-0,9166183574\), \(x_3=2,421658082\). Tập nghiệm của bất phương trình thứ hai là \(N_2=\left(x_1;x_2\right)\cup\left(x_3;+\infty\right)\). Mà \(x_1< -4< -1< x_2\) nên khoảng \(\left(x_1;x_2\right)\) chứa hết \(N_1\), do đó hệ có tập nghiệm \(N=N_1\cap N_2=N_1=\left(-4;-1\right)\).
Đáp số: \(\left(-4;-1\right)\)
