Giải hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix}\left|x^2-4x\right|< 5\\\left|x+1\right|< 2\end{matrix}\right.\) được nghiệm là
\(-4< x< -1\).\(-1< x< 1\).\(1< x< 2\).\(2< x< 5\).Hướng dẫn giải:\(\left\{\begin{matrix}\left|x^2-4x\right|< 5\\\left|x+1\right|< 2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-5< x^2-4x< 5\\\left[\begin{matrix}x+1>3\\x+1< -3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-1< x< 5\\x>2Vx< -4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow2< x< 5\)
Cách khác: Xét \(f\left(x\right)=\left|x^2-4x\right|,g\left(x\right)=\left|x+1\right|\) . Hệ đã cho có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)< 5\\g\left(x\right)>2\end{matrix}\right.\) .
- Xét \(x=-\dfrac{5}{2}\) (tâm khoảng \(-4< x< -1\) ) ta thấy \(g\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{3}{2}< 2\) suy ra \(x=-\dfrac{5}{2}\) không là nghiệm của hệ. Vì vậy đáp số \(-4< x< -1\) là sai (thừa nghiệm \(x=-\dfrac{5}{2}\)).
- Xét \(x=0\) (tâm khoảng (-1; 1). Ta thấy \(f\left(0\right)=0,g\left(0\right)=1\) nên \(x=0\) là một nghiệm của hệ, vì vậy đáp số 1 < x < 2 sai vì thiếu nghiệm \(x=0\).
- Xét \(x=\dfrac{3}{2}\) (tâm khoảng 1<x<2 ) có \(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{15}{4}< 5\) và \(g\left(\dfrac{3}{2}\right)=2,5>2\) . Suy ra \(x=\dfrac{3}{2}\) là một nghiệm của hệ, do đó
-1 <x < 1 là đáp số sai (tthiếu nghiệm \(x=\dfrac{3}{2}\)).
Vậy đáp số đúng là 2 < x < 5.