G là trọng tâm tam giác ABC có \(AB=c,BC=a,CA=b\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\) \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right)\) \(a=b\cos C+c\cos B\) \(\sin\left(B+C\right)=\sin B\cos C+\sin C\cos B\) Hướng dẫn giải:Ta đã biết (tính chất của trọng tâm) \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\), do đó nếu \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right)\)là khẳng định đúng thì
\(\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow A\equiv C\) vô lý.
Vậy khẳng định
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right)\) là sai.
