Đồ thị hàm số \(y=\dfrac{m\left|x\right|+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}\) (với \(m\ne0;m\ne-1\)) có bao nhiêu đường tiệm cận (đứng, ngang) ?
3 2 1 0 Hướng dẫn giải:Hàm số có tập xác định là: \(\left(-\infty;-1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\).
- Tiệm cận đứng:
\(\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{m\left|x\right|+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{-mx+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}=\left\{\begin{matrix}+\infty.m+1>0\\-\infty,m+1< 0\end{matrix}\right.\)
Vậy x = -1 là tiệm cận đứng
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{m\left|x\right|+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{mx+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}=\left\{\begin{matrix}+\infty,m+1>0\\-\infty,m+1< 0\end{matrix}\right.\)
Vậy x = 1 là tiệm cận đứng thứ hai
- Tiệm cận ngang:
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{m\left|x\right|+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\dfrac{mx}{x}+\dfrac{1}{x}}{\left(m^2+1\right)\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}}=\dfrac{m}{m^2+1}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{m\left|x\right|+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{m\left(-x\right)}{x}+\dfrac{1}{x}}{-\left(m^2+1\right)\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}}=\dfrac{-m}{-\left(m^2+1\right)}=\dfrac{m}{m^2+1}\)
(chú ý khi x < 0 thì \(x=-\sqrt{x^2}\))
Vậy hàm số có 1 tiệm cận ngang là \(y=\dfrac{m}{m^2+1}\)
Kết luận: Hàm số có 1 tiệm cận ngang và 2 tiệm cận đứng.
