Cho tam giác đều ABC, tâm O. Kí hiệu M là một điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu vuông góc của M xuống 3 cạnh của tam giác là D, E, F. Tính tổng \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\) theo \(\overrightarrow{MO}\) .
\(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MO}\) \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MO}\) \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MO}\) \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\) Hướng dẫn giải:
Từ M kẻ ba đường thẳng song song với 3 cạnh của tam giác.
Các giao điểm với các cạnh lần lượt I, J, K, L, P, Q
Dễ thấy D là trung điểm IQ; E là trung điểm KP; E là trung điểm KP; F là trung điểm LJ;
\(\overrightarrow{MD}=\frac{\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}}{2}\)
\(\overrightarrow{ME}=\frac{\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MP}}{2}\)
\(\overrightarrow{MF}=\frac{\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{ML}}{2}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MK}\right)+\left(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MJ}\right)+\left(\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MQ}\right)}{2}\)
\(=\frac{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}}{2}=\frac{3\overrightarrow{MO}}{2}\)
(Vì \(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MC};\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MA}\)
Vậy \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\)
