Bài 3. TÍCH CỦA VECTO VỚI MỘT SỐ

Cho tam giác đều ABC có G là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống  BC, AC, AB. Hãy tính tổng  \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\) theo \(\overrightarrow{MG}\).

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác đều ABC (xem hình vẽ).

Do ABC là tam giác đều nên các tam giác MB₂C₂; MA₂C₁; MB₁A₁ cũng là tam giác đều.

Trong tam giác MB₂C₂ có MD là đường cao nên cũng là trung tuyến.

Suy ra D là trung điểm của B₂C₂. Vậy:

   \(\overrightarrow{MD}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MB_2}+\overrightarrow{MC_2}\right)\)

Tương tự ta có: .

   \(\overrightarrow{ME}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA_2}+\overrightarrow{MC_1}\right)\)

   \(\overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MB_1}\right)\)

Cộng 3 đẳng thức trên và nhóm lại các số hạng bên vế phải ta được:

\(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MB_2}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MC_2}\right)\)

Theo qui tắc hình bình hành ta có:

    \(\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}=\overrightarrow{MA}\) ; \(\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MB_2}=\overrightarrow{MB}\) ; \(\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MC_2}=\overrightarrow{MC}\) 

Vậy \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\)

Mặt khác, vì G là trọng tâm tam giác ABC ta có:

  \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\)

Suy ra:

  \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MG}\).