Cho tam giác ABC với A(-5;6), B(-4;-1), C(4;3). Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\) nhỏ nhất.
\(M\left(0;-\dfrac{8}{3}\right)\) \(M\left(0;8\right)\) \(M\left(0;-8\right)\) \(M\left(0;\dfrac{8}{3}\right)\) Hướng dẫn giải:Xét \(M\left(0;y\right)\in Oy\). Áp dụng tính chất trọng tâm ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\) trong đó \(G\) là trọng tâm tam giác ABC. Do đó \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\).
Như vậy, \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\) sẽ nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\left|\overrightarrow{MG}\right|\) nhỏ nhất\(\Leftrightarrow\)khoảng cách MG nhỏ nhất \(\Leftrightarrow GM\perp Oy\) tại M\(\Leftrightarrow y=y_G\Leftrightarrow y=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{6-1+3}{3}=\dfrac{8}{3}\). Đáp số đúng là \(M\left(0;\dfrac{8}{3}\right)\)
