Cho tam giác ABC, gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Tính số đo góc \(\widehat{BAC}\) biết rằng H chia cạnh BC thành hai đoạn \(BH=6a,CH=4a\)và \(AH=12a;CH=4a\).
\(30^0\) \(60^0\) \(90^0\) \(45^0\) Hướng dẫn giải:Cách 1: Áp dụng định lí Pitago cho hai tam giác vuông AHB và AHC ta có:
\(AB^2=\left(\left(12a\right)^2+\left(6a\right)^2\right)=180a^2;\)\(AC^2=\left(\left(12a\right)^2+\left(4a\right)^2\right)=160a^2\)
Sử dụng giả thiết điểm H chia cạnh BC thành hai đoạn \(BH=6a,CH=4a\) suy ra \(BC=6a+4a=10a\).
Áp dụng định lí côsin ta được
\(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=\dfrac{180a^2+160a^2-100a^2}{2\sqrt{180a^2}\sqrt{160a^2}}=\dfrac{240}{2.3.4.10\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Suy ra \(\widehat{BAC}=45^0\).
Cách 2: Đặt \(\widehat{BAH}=\alpha:\widehat{CAH}=\beta\) thì \(\tan\alpha=\frac{1}{2;}\tan\beta=\frac{1}{3}\). Sử dụng công thức cộng cung (trang 149 SGK Đại số 10) ta có
\(\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha.\tan\beta}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}=1\)\(\Rightarrow\alpha+\beta=45^0\)
Vậy \(\widehat{BAC}=45^0\)
