Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và diện tích \(S=\frac{1}{4}\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\). Tam giác ABC là tam giác gì?
Tam giác cân tại A. Tam giác đều. Tam giác vuông tại A. Tam giác vuông. Hướng dẫn giải:Gọi p là nửa chu vi thì \(p=\frac{a+b+c}{2}\) và \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) (công thức Hê rông)
Mặt khác, theo giả thiết có:
\(S=\frac{1}{4}\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=\frac{1}{4}.2\left(p-c\right).2\left(p-b\right)=\left(p-b\right)\left(p-c\right)\)
Suy ra \(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\left(p-b\right)\left(p-c\right)\)
\(\Rightarrow\left(p-b\right)^2.\left(p-c\right)^2=p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(p-b\right)\left(p-c\right)=p\left(p-a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a+c-a\right)\)
hay \(a^2=b^2+c^2\) . Tam giác ABC vuông ở A.
