Cho tam giác ABC có \(AB=c;BC=a;AC=b\) thỏa hệ thức \(a^2+b^2=5c^2\). Tính góc giữa hai trung tuyến AM và BN của tam giác.
\(30^0\) \(60^0\) \(90^0\) \(45^0\) Hướng dẫn giải:
AM cắt BN tại trọng tâm G và \(GM=\frac{AM}{3};GN=\frac{BN}{3}\). Áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến, ta có:
\(AM^2=\frac{b^2+c^2-\frac{a^2}{2}}{2}\Rightarrow GM^2=\frac{b^2+c^2-\frac{a^2}{2}}{18}\) và \(BN^2=\frac{a^2+c^2-\frac{b^2}{2}}{2}\Rightarrow GN^2=\frac{a^2+c^2-\frac{b^2}{2}}{18}\). Do đó
\(GM^2+GN^2=\frac{\left(a^2+b^2\right)+2c^2-\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)}{18}=\frac{5c^2+2c^2-\frac{5c^2}{2}}{18}=\frac{c^2}{4}=MN^2\)
\(\Rightarrow\) Tam giác GMN vuông tại G và góc giữa hai trung tuyến AM và BN là \(90^0\).
